پرسش از توزیع سرعت ایده آل(غیر لزج)

من مطمئنم یک معلم عاشق این تمرین رو به شما داده!چون خیلی حواسش پرت بوده!یا اینکه شما کامل سؤال رو به من منتقل نکردید!
توزیع سرعت در حالتی که نشون دادید اینجا فرض هموگرافیک داره حال اینکه بسته به مشخصات جریان ما میشه توزیع سرعت مثلا Ln ای رو در نظر بگیریم یا....
با فرض هموگرافیک بودن این توزیع(که پیشنهاد این شکلی که به من دادید هست)روند حل بدین صورت است:
در ریاضی دبییرستان یاد گرفتیم در تابع هموگرافیک رابطه x و y معکوس هم هست،پس تابع سای(جریان)به شکل هموگرافیک در دستگاه مختصات عمود بر هم به شکل  

 میباشد و C نیز مقدار ثابتی است(چرا؟خب به سای مقدار بدید مثلا 1 یا 2 یا 3 یا....میبینید که همون تابع هموگرافیکه)حال به جای x و y مقادیر قطبی را قرار دهید یعنی 

 rcos(teta و rsin(tetaخواهیم داشت:

 

این برای یک گوشه 90 درجه است(محور های عمود بر هم)اما برای یک گوشه با زاویه دلخواه آلفا،باید ضریب تتا و همچنین توان r تصحیح شوند.به این منظور از شرایط مرزی بهره میبریم؛داریم:

در تتا=0 و همچنین تتا=آلفا باید سای=0 باشد چون مرز جامد داریم و جریان یین دو مرز جامد هست(حد فاصل بین دو مرز نه روی آنها)،از اینجا فهمیده میشود که ضریب تتا باید برابر پی آلفا ام باشد .

اما توان r را چگونه میآبیم؟از شرط مرزی دیگر،یعنی میدانیم فرمول کلی ما باید گوشه 90 درجه را هم در بر بگیرد و چنانکه دیدیم برای گوشه 90 درجه توان r برابر 2 میباشد پس توان کلی r نیز باید پی آلفا ام باشد تا وقی آلفا برابر 90 است(پی دوم)مقدار 2 را تولید کند.  

خب دیگه با بدست آوردن سای میتونید از فرمول های سرعت شعاعی و زاویه ای بر حسب سای که در تمام کتابای مکانیک سیالات هست استفاده کنید و تابع پتانسیل رو بدست بیارید.

برای اثبات غیر چرخشی بودن هم بعد از یافتن سرعت های شعاعی و زاویه ای از فرمول چرخش(امگا)سود ببرید و ببینید که امگا=0 خواهد شد.

پیروز باشید.